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問(wèn)答題找出所有分組長(zhǎng)度為5的二元循環(huán)碼，求出每個(gè)碼的最小距離。

1.問(wèn)答題 為下列定義的多項(xiàng)式環(huán)構(gòu)造加法和乘法表
（1）定義在GF（2）上的
（2）定義在GF（3）上的

（1）首先判斷得環(huán)的多項(xiàng)式的最高次數(shù)=1，環(huán)中有四個(gè)元素，分別為0，1，x，x+1。所得加法表如下：

2.問(wèn)答題 下面的哪個(gè)碼是（a）循環(huán)碼，（b）與一個(gè)循環(huán)碼等價(jià)？

（5）長(zhǎng)度為n的q-元重復(fù)碼。

3.問(wèn)答題 用r_H來(lái)表示二元漢明碼的碼率，求。

根據(jù)二元漢明碼的性質(zhì)可知：

其中m是任意正整數(shù)。
則由碼率的定義可知：

4.問(wèn)答題 設(shè)C是長(zhǎng)度為n，最小距離為7的二元完備碼。證明n=7或n=23。
證明：由完備碼的定義可知，一個(gè)完備碼必須滿足下列條件：

同理，可證得n=23時(shí)，同樣滿足（1）式。
故可證明當(dāng)n=7或n=23時(shí)，C是二元完備碼。

5.問(wèn)答題 假設(shè)是一個(gè)二元碼，它的奇偶校驗(yàn)矩陣為H。證明由C通過(guò)添加整體奇偶校驗(yàn)比特得到的擴(kuò)展碼C₁的奇偶校驗(yàn)矩陣為

根據(jù)題意，擴(kuò)展碼C₁為：

即擴(kuò)展碼C₁的奇偶校驗(yàn)矩陣為H_i。
證畢。